El
concepto clave para entender como trabaja la lógica difusa es el de conjunto
difuso, se puede definir un conjunto difuso de la siguiente manera.
Teniendo
un posible rango de valores al cual llamaremos U, por ejemplo U=Rn, donde Rn es
un espacio de n dimensiones, a U se le denominara Universo de Discurso. En U se
tendra un conjunto difuso de valores llamado F el cual es caracterizado por de
una función de pertenencia uf tal que uf:U->[0, 1], donde uf(u) representa
el grado de pertenencia de un u que pertenece a U en el conjunto difuso F.
Por
ejemplo supongamos que se desea representar con conjuntos difusos la variable
altura de una persona, en esta caso el universo de discurso será el rango de
posibles valores de la altura que tenga un persona adulta, se escojerá un rango
entre 140 cm y 200 cm, valores por fuera de este rango son posibles pero son
muy escasos. El universo de discursoU = [140, 200], para denominar los
conjuntos difusos se suelen trabajar con etiquetas linguisticas similares a las
que se usan de manera coloquial por ejemplo, en la vida diaria decimos que una
persona es Muy Baja (MB), Baja (B), Mediana (M), Alta (Alta) y Muy Alta (MA)
Etiqueta
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Rango [min, max]
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MB
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[140,160]
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B
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[160,170]
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M
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[170,180]
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A
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[180,190]
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MA
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[190,200]
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| Figura No. 1 Conjuntos difusos para la altura de una persona |
Si el
ejemplo antrior se desea trabajar con conjuntos clásicos (crisp) se tienen dos
opciones o alguien Alto (A) o Bajo (B). Se supondrá que alguien Alto si mide
mas de 170cm es caso contrario es bajo
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| Figura No. 2 Conjuntos crips para la altura de una persona |
De
manera similar a la que entre los conjuntos clásicos se realizan operaciones
entre ellos, en conjuntos difusos se puede hacer lo mismo, pero debido a la
naturaleza diferente de ellos la formulación de estas operaciones es algo
especal.
En la
figura 3, se muestran dos conjuntos difusos los cuales nos serviran para
definir las operaciones fundamentales que entre ellos se pueden realizar.
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| Figura No. 3 Conjuntos difusos entre los se definirán las operaciones |
La idea intuitiva
de intersección herededa de los conjuntos clásicos expresa que el conjunto
intersección de dos conjuntos A y B, se define como los elementos que estan en
el conjunto A Y en el conjunto B; de esta manera la
intersección entre conjuntos se puede entender como el una operación tipo AND
entre los mismos.
Siguiendo esta
idea, se podria graficar la intersección de los conjuntos difusos mostrados en
la figura 3.
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| Figura No. 4 Intersección entre dos conjuntos difusos |
De manera similar a
como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar
el nivel de pertenencia de valor x= 4.5 a la intersección de los dos conjuntos
difusos mostrados.
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| Figura No. 5 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la interseccion de los conjuntos difusos A y B |
Graficamente se que
el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al
conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la interseccion (zona
sombreada) se desea expresar como una operacion entre estos valores se observa
que de estos dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de
0.2 por lo que de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia
del valor dado a la interseccion de los conjuntos A y B es el valor
mínimo de los valores de pertenencia del dicho valor a los conjuntos
de manera individual, de manera matemática lo anterior se puede expresar asi:
La idea intuitiva
de unión herededa de los conjuntos clasicos expresa que el conjunto unión de
dos conjuntos A y B, se define como los elementos que estan en el conjunto
A OR estan en el conjunto B. de esta manera la intersección
entre conjuntos se puede entender como el una operacion tipo OR entre
los mismos.
Siguiendo esta
idea, se podría graficar la unión de los conjuntos difusos mostrados en la
figura 3.
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Figura No. 6 Unión entre dos conjuntos difusos |
De manera similar a
como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar
el nivel de pertenencia de valor x = 4.5 a la unión de los dos conjuntos
difusos mostrados.
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| Figura No. 7 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la union de los conjuntos difusos A y B |
Graficamente se que
el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al
conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la unión (zona sombreada) se
desea expresar como una operación entre estos valores se observa que de estos
dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de 0.8 por lo que
de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia del valor dado
a la unión de los conjuntos A y B es el valor máximo de los
valores de pertenencia de dicho valor a los conjuntos de manera individual, de
manera matemática lo anterior se puede expresar asi:
En conjuntos
clásicos se define el complemento como el conjunto de los elementoque le faltan
a un conjunto para ser igual al conjunto universo.
De la misma manera
en conjuntos difusos se habla del complemento como el conjunto formado por los
valores de pertencias que le permitirían al conjunto obtener el valor máximo de
pertenencia posible, siendo 1 el valor máximo de pertenencia que un conjunto difuso
puede suministrar, este conjunto se podria formar restando le a 1 los valores
de pertenencia del conjunto difuso al que se desea encontrar el complemento.
Graficamente esto
se visualiza asi:
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| Figura No. 8 Complemento de un conjunto difuso |
En la grafica
anterior el conjunto complemento se ha dibujando con trazo negro. De manera
similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a
encontrar el nivel de pertenencia de valor x =6 al complemento del conjunto
difusos A
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| Figura No. 9 Cual es el valor de pertencia de x=6 al complemento del conjunto difusos A |
En x=6 se observa
que el valor de pertenencia al conjunto A es de 0.8, si pensamos en el
complemento como lo que le falta a esta valor para alcanzar el maximo valor
posible se que es 1 se tendria que el nivel del pertencia de x=6 al complemento
es de 0.2, el la grafica se puede verificar esta conclusion. Matematicamente
esta operacion se expresa así:
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